Ikkinchi darajali polinomlarni aniqlashning 6 usuli (kvadrat tenglamalar)

Mundarija:

Ikkinchi darajali polinomlarni aniqlashning 6 usuli (kvadrat tenglamalar)
Ikkinchi darajali polinomlarni aniqlashning 6 usuli (kvadrat tenglamalar)

Video: Ikkinchi darajali polinomlarni aniqlashning 6 usuli (kvadrat tenglamalar)

Video: Ikkinchi darajali polinomlarni aniqlashning 6 usuli (kvadrat tenglamalar)
Video: 3. O'nli kasrlarni ko'paytirish. 6 sinf matematika 2024, Qadam tashlamoq
Anonim

Polinomda daraja deb nomlanuvchi (x) o'zgaruvchi va bir nechta atamalar va/yoki doimiylar mavjud. Ko'p polinomni ajratish - bu ifodani ko'payadigan kichik ifodalarga bo'lish demakdir. Bu bilimlar Algebra I -dan boshlab o'rganiladi va agar sizda poydevor bo'lmasa, tushunish qiyin bo'lishi mumkin.

qadamlar

Boshlanmoqda

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 1 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 1 -qadam

Qadam 1. Ifodani yig'ing

Kvadrat tenglamaning standart formati:

bolta2 + bx + c = 0

Tenglama shartlarini yuqoridagi shaklda bo'lgani kabi, buyukdan kichikgacha buyruq berish bilan boshlang. Masalan, oling;

6 + 6x2 + 13x = 0

Ifodalar tartibini o'zgartiradi, shunda atamalarning joylashishini o'zgartirib, osonroq ishlaydi:

6x2 + 13x + 6 = 0

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 2 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 2 -qadam

2 -qadam. Quyidagi usullardan birini ishlatib, faktorlangan shaklni toping

Ko'p polinomni ajratish natijasida ikkita polinomni ko'paytirish mumkin bo'lgan ikkita kichik ifodalar paydo bo'ladi:

6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Bu misolda (2x +3) va (3x + 2) asl ifodaning omillari, 6x2 + 13x + 6.

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 3 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 3 -qadam

3 -qadam Natijani tekshiring

Aniqlangan omillarni ko'paytiring. Keyin shunga o'xshash atamalarni birlashtiring. Boshlash:

(2x + 3) (3x + 2)

Buni FOIL usuli yordamida sinab ko'ramiz (inglizcha birinchi tashqarida, ichkarida, oxirgi - birinchi tashqarida, keyin ichkarida), shuningdek ko'payishning taqsimlovchi xususiyati deb ataladi:

6x2 + 4x + 9x + 6

Endi 4x va 9x qo'shish mumkin, chunki ular o'xshash atamalar. Siz omillar to'g'ri ekanligini bilasiz, chunki asl tenglama olingan:

6x2 + 13x + 6

6 -usul 1: sinov va xato

Agar sizda juda oddiy polinom bo'lsa, unga qarab, omillarni o'zingiz aniqlashingiz mumkin. Masalan, amaliyotdan so'ng, ko'plab matematiklar 4x ifodani aniqlay oladilar2 + 4x + 1 bu ibora bilan ko'p ishlaganidan keyin (2x + 1) va (2x + 1) omillarga ega. Albatta, murakkab polinomlar bilan bu oson bo'lmaydi. Ushbu misolda biz kamroq tarqalgan iborani ishlatamiz:

3x2 + 2x - 8

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 4 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 4 -qadam

1 -qadam. A va v atamalari uchun omillarni sanab bering

Standart ax formatidan foydalanish2 + bx + c = 0, a va c shartlarini aniqlang va ularning omillarini sanab bering. 3x uchun2 + 2x - 8, bu degani:

a = 3 va omillar to'plamiga ega: 1 * 3

c = -8 va to'rtta omillarga ega: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 va -1 * 8.

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 5 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 5 -qadam

2 -qadam. Bo'sh qavslardan iborat ikkita to'plamni yig'ing

Siz ularni har bir ifodaning doimiylari bilan to'ldirasiz:

(x) (x)

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 6 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 6 -qadam

3 -qadam. X oldidagi bo'sh joylarni qiymat uchun bir nechta mumkin bo'lgan omillar bilan to'ldiring

Amaldagi misolda a atamasi uchun 3x2, faqat bitta imkoniyat bor:

(3x) (1x)

Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 7 -qadam
Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 7 -qadam

4 -qadam. X -dan keyingi ikkita bo'shliqni doimiylar uchun bir necha omil bilan to'ldiring

Aytaylik, siz 8 va 1 raqamlarini tanladingiz. Ularni yozing:

(3x

8 -qadam.)(

1 -qadam

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 8 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 8 -qadam

5 -qadam. X va sonlar o'zgaruvchilari o'rtasida qanday belgilar (qo'shish yoki ayirish) bo'lishi kerakligini hal qiling

Asl ifodadagi belgilarga qarab, konstantalarning qanday belgilari bo'lishi kerakligini aniqlash mumkin. Keling, ikkita h va k faktorlari uchun ikkita doimiyni chaqiramiz:

agar x2 + bx + c, keyin (x + h) (x + k)

agar x2 - bx - c yoki bolta2 + bx - c, keyin (x - h) (x + k)

agar x2 - bx + c, keyin (x - h) (x - k)

Masalan, 3x2 + 2x - 8, belgilar: (x - h) (x + k) bo'lishi kerak, natijada ikkita omil paydo bo'ladi:

(3x + 8) va (x - 1)

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 9 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 9 -qadam

Qadam 6. Tarqatish xususiyatidan foydalanib tanlovlarni sinab ko'ring

Tez bajariladigan birinchi test - bu o'rta atamalar to'g'ri qiymatlarga mos kelishini tekshirish. Aks holda, siz v uchun noto'g'ri omillarni tanlagan bo'lishingiz mumkin. Keling, javobni sinab ko'ramiz:

(3x + 8) (x - 1)

Ko'paytirishni amalga oshirayotganda siz quyidagilarni olasiz:

3x2 - 3x + 8x - 8

Ushbu iborani (-3x) va (8x) o'xshash atamalar yig'indisida soddalashtirib, siz:

3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8

Endi biz noto'g'ri omillarni aniqlashimiz kerakligini bilamiz:

3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 10 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 10 -qadam

Qadam 7. Agar kerak bo'lsa, omillarni o'zgartiring

Amaldagi misolda 1 va 8 o'rniga 2 va 4 ni ishlatishga harakat qilaylik:

(3x + 2) (x - 4)

Endi c atamasi -8 ga teng, lekin tashqi/ichki mahsulot (3x * -4) va (2 * x) -12x va 2x ga teng, ular +2x to'g'ri b termini yaratish uchun birlashtirilmaydi.

-12x + 2x = 10x

10x2x

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 11 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 11 -qadam

Qadam 8. Agar kerak bo'lsa, buyurtmani o'zgartiring

Keling, 2 va 4 ni siljitishga harakat qilaylik:

(3x + 4) (x - 2)

Endi c atamasi (4 * 2 = 8) hali ham to'g'ri, lekin tashqi/ichki mahsulotlar -6x va 4x. Ularni birlashtirib:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Biz 2xga yaqinmiz, lekin signal noto'g'ri.

Ikkinchi darajali ko'p polinomli faktorlar (kvadrat tenglamalar) 12 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomli faktorlar (kvadrat tenglamalar) 12 -qadam

Qadam 9. Agar kerak bo'lsa, belgilarni tekshiring

Xuddi shu tartibni saqlang, lekin minus belgisi bo'lgan tartibni o'zgartiring:

(3x - 4) (x + 2)

Endi c atamasi hali ham to'g'ri, lekin tashqi/ichki mahsulotlar (6x) va (-4x). Yoqdi:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Endi asl muammoning 2x ijobiy atamasini tanib olish mumkin. Bu to'g'ri omillar bo'lishi kerak.

6 -ning 2 -usuli: parchalanish

Bu usul a va c atamalari uchun barcha mumkin bo'lgan omillarni aniqlaydi va ulardan qanday omillar bo'lishi kerakligini aniqlash uchun foydalanadi. Agar raqamlar juda katta bo'lsa yoki boshqa usullar murakkabroq ko'rinsa, bu usuldan foydalaning. Keling, misolni ishlataylik:

6x2 + 13x + 6

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 13 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 13 -qadam

1 -qadam. A va c atamalarini ko'paytiring

Bu misolda ikkalasi ham 6 ga teng.

6 * 6 = 36

Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 14 -qadam
Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 14 -qadam

2 -qadam. Faktoring va test yordamida b atamasining qiymatini toping

Siz a * c mahsulotining omillari bo'lgan ikkita raqamni topishingiz kerak va ular birgalikda qo'shilganda b (13) atamasiga tengdir.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 15 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 15 -qadam

3 -qadam. Tenglamada olingan ikkita sonni b davrining yig'indisi bilan almashtiring

Keling, 4 va 9 ikkita raqamni ifodalash uchun k va h dan foydalanamiz:

bolta2 + kx + hx + c

6x2 + 4x + 9x + 6

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 16 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 16 -qadam

Qadam 4. Polinomni guruhlash orqali omillarga ajratish

Tenglamani shunday joylashtiringki, siz birinchi ikkita va oxirgi ikkita atamaning eng katta umumiy omilini aniqlay olasiz. Ikkala faktorli guruh ham bir xil bo'lishi kerak. Eng ko'p uchraydigan omillarni qo'shing va ularni faktorli guruh yonidagi qavs ichiga joylashtiring; natijada ikkita omil bo'ladi:

6x2 + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

6 -ning 3 -usuli: Uchta o'yin

Parchalanishga o'xshab, "uch marta boshlash" usuli a va c atamalari mahsulotlarining mumkin bo'lgan omillarini o'rganadi, so'ngra b qiymatini topishda foydalanadi. Misol sifatida quyidagi tenglamani ko'rib chiqing:

8x2 + 10x + 2

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 17 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 17 -qadam

1 -qadam. A va c atamalarini ko'paytiring

Bu sizga b davrining imkoniyatlarini hamda parchalanish usulini aniqlashga yordam beradi. Bu misolda teng 8 va c 2 ga teng.

8 * 2 = 16

Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 18 -qadam
Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 18 -qadam

2 -qadam. Mahsuli va yig'indisi b atamasiga teng bo'lgan ikkita raqamni toping

Bu qadam parchalanish usuli bilan bir xil - siz doimiy nomzodlarni sinab ko'rishingiz va rad etishingiz kerak. A va c atamalari mahsuloti 16 ga teng va c atamasi 10 ga teng:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 19 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 19 -qadam

3 -qadam. Bu ikkita raqamni oling va ularning o'rnini "uch o'yin" formulasida tekshiring

Oldingi qadamdagi ikkita raqamni oling - h va k deb ataymiz va ularni quyidagi iboraga joylashtiramiz:

((ax + h) (ax + k)) / a

Bunday holda, biz olamiz:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 20 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 20 -qadam

4 -qadam. Hisoblagichdagi ikkita atamaning qaysi biri a ga teng bo'linishini ko'ring

Bu misolda biz (8x + 8) yoki (8x + 2) ni 8 ga bo'lish mumkinligini tekshiramiz.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Bu holda biz saqlayotgan atama a: (x + 1) atamasiga bo'linishning qolgan qismi hisoblanadi.

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 21 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 21 -qadam

5 -qadam. Agar mavjud bo'lsa, bitta yoki ikkala atamaning eng katta umumiy omilini oling

Bu misolda, ikkinchi atama eng katta umumiy omil sifatida 2 raqamiga ega, chunki 8x + 2 = 2 (4x + 1). Bu javobni oldingi bosqichda aniqlangan atama bilan moslang. Bu tenglamadagi omillar.

2 (x + 1) (4x + 1)

6 -ning 4 -usuli: Ikki ildizning farqi

Polinomlardagi ba'zi koeffitsientlarni "ildizlar" yoki ikkita sonning hosilasi sifatida aniqlash mumkin. Bu ildizlarni aniqlash polinomlarni tezroq faktorlashtirishga imkon beradi. Tenglamani ko'rib chiqing:

27x2 - 12 = 0

Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 22 -qadam
Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 22 -qadam

Qadam 1. Iloji bo'lsa, eng katta umumiy omil omil

Bunday holda, biz 27 va 12 ikkalasi ham 3 ga bo'linishini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni ajratamiz:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 23 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 23 -qadam

2 -qadam. Tenglama koeffitsientlari kvadrat sonlar ekanligini aniqlang

Bu usuldan foydalanish uchun atamalarning aniq kvadrat ildizini olish kerak. E'tibor bering, minus belgilar qoldirilgan, chunki bu raqamlar ikkita ijobiy yoki manfiy sonning hosilasi bo'lishi mumkin bo'lgan kvadratchalardir.

9x2 = 3x * 3x va 4 = 2 * 2

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 24 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 24 -qadam

Qadam 3. Aniqlangan kvadrat ildizlardan foydalanib, omillarni yozing

Yuqoridagi qadamdan a va c qiymatlarini oling (a = 9 va c = 4) va ularning kvadrat ildizlarini hisoblang - a a = 3 va ph c = 2. Ular ifodalarning omil koeffitsientlari bo'ladi:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

6 -ning 5 -usuli: Kvadrat formulalar

Agar boshqa usullar muvaffaqiyatsiz bo'lsa va tenglama teng bo'linmagan bo'lsa, kvadratik formuladan foydalaning. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

x2 + 4x + 1 = 0

Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 25 -qadam
Ikkinchi darajali omil polinomlari (kvadrat tenglamalar) 25 -qadam

Qadam 1. Tegishli qiymatlarni kvadrat formulaga almashtiring:

x = -b ± √ (b2 - 4c)

2 -chi

Biz ifodani olamiz:

x = -4 ± √ (42 - 4•1•1) / 2

Ikkinchi darajali ko'p polinomli faktorlar (kvadrat tenglamalar) 26 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomli faktorlar (kvadrat tenglamalar) 26 -qadam

2 -qadam. X qiymatini hisoblang

X uchun ikkita qiymatni olishingiz kerak. Yuqorida ko'rsatilgandek, biz ikkita javobni olamiz:

x = -2 + √ (3) yoki x = -2 -√ (3)

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 27 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 27 -qadam

Qadam 3. Faktorlarni hisoblash uchun x qiymatlaridan foydalaning

X qiymatlarini almashtiring. Ular omillar bo'ladi. Agar ikkita javobni h va k deb aniqlasak, omillarni quyidagicha yozishimiz kerak:

(x - h) (x - k)

Bunday holda, oxirgi javob:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6 -dan 6 -usul: Kalkulyatordan foydalanish

Agar uni ishlatish mumkin bo'lsa, grafik kalkulyatori faktoring jarayonini ancha osonlashtiradi, ayniqsa testlarda. Quyidagi ko'rsatmalar grafik kalkulyatori uchun. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

y = x2 - x - 2

Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 28 -qadam
Ikkinchi darajali faktor polinomlari (kvadrat tenglamalar) 28 -qadam

Qadam 1. Kalkulyatorga tenglamani kiriting

Siz [Y =] ekrani sifatida ham tanilgan tenglama echuvchisidan foydalanasiz.

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 29 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 29 -qadam

2 -qadam. Kalkulyatorda tenglamani grafik qiling

Tenglama yozilgandan so'ng, [GRAPH] tugmachasini bosing - siz tenglamani ifodalovchi kamonni ko'rishingiz kerak (va biz kamon bo'ladi, chunki biz polinomlar bilan ishlaymiz).

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 30 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 30 -qadam

Qadam 3. yoyning x o'qi bilan kesishgan joyini ko'ring

Ko'p polinomli tenglamalar odatda bolta sifatida yozilganligi uchun2 + bx + c = 0, bu x ning ikkita qiymati, ular ifodani nolga tenglashtiradi:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Agar grafika x o'qining kesishgan joyini aniqlay olmasangiz, [2] va keyin [TRACE] tugmasini bosing. [2] tugmasini bosing yoki "nol" ni tanlang. Kursorni chorrahaning chap tomoniga siljiting va [ENTER] tugmasini bosing. Kursorni chorrahaning o'ng tomoniga siljiting va [ENTER] tugmasini bosing. Kursorni chorrahaga yaqin siljiting va [ENTER] tugmasini bosing. Kalkulyator x qiymatini topadi. Boshqa kesishma uchun ham xuddi shunday qiling

Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 31 -qadam
Ikkinchi darajali ko'p polinomlar (kvadrat tenglamalar) 31 -qadam

Qadam 4. Oldingi bosqichda olingan x qiymatlarni ikkita faktorli ifodaga almashtiring

X (h va k) ning ikkita qiymatidan foydalanganda quyidagi ifoda ishlatiladi:

(x - h) (x - k) = 0

Shunday qilib, ikkita omil bo'lishi kerak:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Maslahatlar

  • Agar sizda TI-84 (grafik) kalkulyatori bo'lsa, "SOLVER" deb nomlangan kvadrat tenglamani echadigan dastur mavjud. U boshqa darajadagi polinomlarni ham hal qiladi.
  • Agar atama mavjud bo'lmasa, koeffitsient 0 ga teng. Tenglamani qayta yozish foydali bo'lishi mumkin, masalan: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
  • Agar siz ko'pburchakni kvadratik formuladan foydalanib aniqlagan bo'lsangiz va radikallar bilan javob olgan bo'lsangiz, ularni tekshirish uchun x qiymatlarini kasrlarga aylantiring.
  • Agar atamada yozma koeffitsient bo'lmasa, u 1 bo'ladi, ya'ni x2 = 1x2.
  • Ko'p mashqlardan so'ng, oxir -oqibat boshingizdagi polinomlarni ajratib olishingiz mumkin bo'ladi. Ungacha ularni qog'ozga yozib qo'ying.

Tavsiya: